Оператор Лапласа

Оператор Лапласа определяется выражением

и в декартовой системе координат описывается формулой

Найдем выражение для оператора Лапласа в криволинейной ортогональной системе координат. Для этого запишем градиент и дивергенцию в криволинейной системе координат

Подставляя эти выражения в оператор Лапласа, получим

Пример 1. Найти выражение для оператора Лапласа в цилиндрической системе координат.

Замечание 1. Оператор Лапласа в полярной системе координат определяется формулой

Пример 2. Найти выражение для оператора Лапласа в сферической системе координат.

Решение. Подставляя значения коэффициентов Ламе, получим

Уравнение Лапласа

Уравнением Лапласа называют уравнение вида.

Это уравнение называют уравнением эллиптического типа. Оно часто встречается в задачах, связанных с определением потенциала различных стационарных полей. В частности, задача определения поля температур, электрического потенциала, упругих напряжений и деформаций связана с решением уравнения Лапласа. Отметим, что в математической физике изучают также уравнения гиперболического и параболического типа.

Существует много различных методов решения уравнений эллиптического типа. Среди них можно выделить метод разделения переменных, метод функции источника, теорию потенциала, метод аналитических функций и много других. Рассмотрим несколько простейших задач, не связанных с использованием специальных методов.

Цилиндрическая симметрия. Найдем решение уравнения Лапласа для функции, обладающей цилиндрической симметрией, т.е. не зависящей от полярного угла и переменной z. В этом случае уравнение Лапласа, записанное в цилиндрической системе координат, имеет вид

Частные производные здесь заменены полными. Из этого уравнения следует

где и - произвольные постоянные, которые можно найти из граничных условий.

Сферическая симметрия. Найдем решение уравнения Лапласа для функции, обладающей сферической симметрией, т.е. не зависящей от углов и. В этом случае уравнение Лапласа, записанное в сферической системе координат, имеет вид

Нетрудно найти решение этого уравнения

Решение уравнения Пуассона рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 1. Найти решение уравнения Пуассона внутри круга радиуса, если

Решение. Искомая функция обладает цилиндрической симметрией, поэтому запишем уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат в виде

Решим это уравнение

градиент криволинейный ламе дифференциальный

Постоянные и найдем из граничного условия и условия ограниченности функции. Учитывая, что, получим. Из условия получим

Следовательно, имеем окончательный ответ

лапласиан,- дифференциальный оператор определяемый формулой

(здесь - координаты в ), а также некоторые его обобщения. Л. о. (1) является простейшим эллиптич. дифференциальным оператором 2-го порядка. Л. о. играет важную роль в математич. анализе, математич. физике и геометрии (см., напр., Лапласа уравнение, Лапласа - Бельтрами уравнение, Гармоническая функция, Гармоническая форма ).

Пусть Месть n-мерное риманово пространство с метрикой

пусть - матрица, обратная к матрице Тогда Л. о. (или оператор Лапласа - Бельтрами) римановой метрики (2) на Мимеет вид

где - локальные координаты на М. Оператор (1) отличается знаком от Л. о. стандартной евклидовой метрики

Обобщением оператора (3) является Л. о. на дифференциальных формах. Именно, в пространстве всех внешних дифференциальных форм на МЛ. о. имеет вид

где d - оператор внешнего дифференцирования формы, d* - формально сопряженный к dоператор, определяемый с помощью следующего произведения на гладких финитных формах:

где * - оператор Ходжа, порожденный метрикой (2) и переводящий р-формы в ( п-р )-формы. В формуле (5) формы a и b считаются действительными, на комплексных формах нужно использовать эрмитово продолжение скалярного произведения (5). Сужение оператора (4) на О-формы (т. е. функции) задается формулой (3). На р-формах при произвольном целом Л. о. в локальных координатах записывается в виде

Здесь - ковариантные производные по

Тензор кривизны, - тензор Риччи. Пусть дан произвольный эллиптич. комплекс

где Е р - действительные или комплексные расслоения на многообразии М, Г ( Е р ) - пространства их гладких сечений. Введя в каждом расслоении Е р эрмитову метрику, а также задав произвольным образом элемент объема на М, можно определить эрмитово скалярное произведение в пространствах гладких финитных сечений расслоений Е р. Тогда определены операторы d*, формально сопряженные к операторам d. По формуле (3) строится Л. о. на каждом пространстве Г( Е р ). Если в качестве комплекса (6) взять комплекс де Рама, то при естественном выборе метрики в р-формах и элемента объема, порожденных метрикой (2), получается в качестве Л. о. комплекса де Рама описанный выше Л. о. на формах.

На комплексном многообразии Мнаряду с комплексом де Рама имеются эллиптич. комплексы

где - пространство гладких форм типа ( р, q ).на М. Вводя эрмитову структуру в касательном расслоении на М, можно построить Л. о. (4) комплекса де Рама и Л. о. комплексов (7), (8):

Каждый из этих операторов переводит в себя пространство Если М - кэлерово многообразие, а эрмитова структура на Миндуцирована кэлеровой метрикой, то

Важным фактом, определяющим роль Л. о. эллиптич. комплекса, является существование в случае компактного многообразия Мортогонального разложения Ходжа:

В этом разложении где - Л. о. комплекса (6), так что - пространство "гармонических" сечений расслоения Е р (в случае комплекса де Рама - это пространство всех гармонических форм степени р). Прямая сумма первых двух слагаемых в правой части формулы (9) равна а прямая сумма двух последних слагаемых совпадает с В частности, разложение (9) задает изоморфизм пространства когомологий комплекса (6) в члене и пространства гармонич. сечений

Лит. : Рам Ж. д е, Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976. М. А. Шубин.

• - интеграл движения точки постоянной массы mв поле потенциала Ньютона - Кулона L= - момент импульса - определяет плоскость орбиты, а совместно с интегралом энергии - ее конфигурацию...

  Математическая энциклопедия

• - 1) Интеграл вида осуществляющий интегральное Лапласа преобразование функции f.действительного переменного t, в функцию F.комплексного переменного р. Был рассмотрен П. Лапласом в кон. 18- нач. 19 вв....

  Математическая энциклопедия

• - асимптотических оценок - метод вычисления асимптотики при l>...

  Математическая энциклопедия

• - последовательность конгруэнции в трехмерном проективном пространстве, в к-рой каждые две соседние конгруэнции образованы касательными к двум семействам линий сопряженной сети одной поверхности...

  Математическая энциклопедия

• - трансформация Лапласа, - в широком смысле - интеграл Лапласа вида где интегрирование производится по нек-рому контуру Lв плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f...

  Математическая энциклопедия

• - установленная П. Лапласом зависимость капиллярного давления Рq от ср. кривизны поверхности е раздела граничащих фаз и поверхностного натяжения q: Рq = еq....
• - линейный дифференц. оператор, к-рый ф-ции ф ставит в соответствие ф-цию Встречается во мн. задачах матем. физики. Ур-ние дельта ф = 0 наз. Лапласа уравнением...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - один из осн. законов капиллярных явлений. Согласно Л. з., разность р0 гидростатич...
• - линейный дифференц...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - Приморской области, Южно-Уссурийского края, на побережье Сев.-Японского моря, между мысами Авсеенко и Дурынина, севернее бухты Шхадгоу...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - геодезический азимут А направления на наблюдаемую точку, полученный по его астрономическому азимуту α, исправленному с учётом влияния отклонения отвеса в пункте наблюдения...
• - космогоническая гипотеза об образовании Солнечной системы - Солнца, планет и их спутников из вращающейся и сжимающейся газовой туманности, высказанная П. Лапласом в 1796 в популярной книге «Изложение...

  Большая Советская энциклопедия

• - зависимость перепада гидростатического давления Δp на поверхности раздела двух фаз от межфазного поверхностного натяжения σ и средней кривизны поверхности ε в рассматриваемой точке: Δр=р1- р2= εσ, где p1 -...

  Большая Советская энциклопедия

• - лапласиан, дельта-оператор, Δ-оператор, линейный дифференциальный Оператор, который функции φ от n переменных x1, x2,.....

  Большая Советская энциклопедия

• - установленная П. Лапласом зависимость????? - капиллярного давления?? от средней кривизны E поверхности раздела граничащих фаз и поверхностного натяжения?...
• - ЛАПЛАСА оператор - линейный дифференциальный оператор, который функции? ставит в соответствие функциюВстречается во многих задачах математической физики. Уравнение???0 называется Лапласа уравнением...

  Большой энциклопедический словарь

"ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР" в книгах

Отставка Лапласа

НАСЛЕДИЕ ЛАПЛАСА

автора Воронцов-Вельяминов Борис Николаевич

Сахар Лапласа

Из книги Истории давние и недавние автора Арнольд Владимир Игоревич

Сахар Лапласа История Ф. Араго: в юности попал в плен к пиратам, потом выкуплен (каким-то англичанином в Египте?), вернувшись, стал активнейшим учёным, работал с Ампером и в оптике. Его выдвинули в Академию наук. Кандидат (до сих пор) должен посетить всех голосующих и

Принцип Лапласа

Из книги Как далеко до завтрашнего дня автора Моисеев Никита Николаевич

Принцип Лапласа В конечном счете, я не стал верующим, но и не превратился в атеиста. Мне казалось, что любые категоричные утверждения в этой сфере, лежащей на границе разума и эмоций – неуместны. Недоказуемо всё. Никакая логика не поможет в решении этого вечного вопроса.

Демон Лапласа

Из книги Больше, чем вы знаете. Необычный взгляд на мир финансов автора Мобуссин Майкл

Демон Лапласа 200 лет назад в науке господствовал детерминизм. Воодушевленные открытиями Ньютона, ученые рассматривали вселенную как часовой механизм. Французский математик Пьер Симон Лаплас хорошо выразил суть детерминизма в своем знаменитом труде «Опыт философии

43. Демон, Лапласа

Из книги Философ на краю Вселенной. НФ–философия, или Голливуд идет на помощь: философские проблемы в научно–фантастических фильмах автора Роулендс Марк

43. Демон, Лапласа Гипотетическое сверхсущество, обладающее исчерпывающими знаниями о состоянии Вселенной и способное на основе этого точно предсказывать будущие изменения. Вспомните хотя бы пролов из «Особого мнения»: если бы они могли видеть не только грядущие

Лапласа азимут

БСЭ

Лапласа гипотеза

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ЛА) автора БСЭ автора Мейерс Скотт

Правило 52: Если вы написали оператор new с размещением, напишите и соответствующий оператор delete Операторы new и delete с размещением встречаются в C++ не слишком часто, поэтому в том, что вы с ними не знакомы, нет ничего страшного. Вспомните (правила 16 и 17), что когда вы пишете такое

1. Оператор Select – базовый оператор языка структурированных запросов

Из книги Базы данных: конспект лекций автора Автор неизвестен

1. Оператор Select – базовый оператор языка структурированных запросов Центральное место в языке структурированных запросов SQL занимает оператор Select, с помощью которого реализуется самая востребованная операция при работе с базами данных – запросы.Оператор Select

15.8.2. Оператор размещения new() и оператор delete()

Из книги C++ для начинающих автора Липпман Стенли

15.8.2. Оператор размещения new() и оператор delete() Оператор-член new() может быть перегружен при условии, что все объявления имеют разные списки параметров. Первый параметр должен иметь тип size_t:class Screen {public:void *operator new(size_t);void *operator new(size_t, Screen *);// ...};Остальные параметры

Оператор Лапласа - дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом. Функции F он ставит в соответствие функцию

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.

Градиент-- вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма». Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста в этом направлении. Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами, где - некоторая скалярная функция координат x,y,z.

Если - функция n переменных то ее градиентом называется n-мерный вектор

Компоненты которого равны частным производным по всем ее аргументам. Градиент обозначается grad, или с использованием оператора набла,

Из определения градиента следует, что:

Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат x i, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx -- это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе.

Таким образом, выражение (вообще говоря -- для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

Или опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

Дивергенция -- дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее -- насколько расходятся входящий и исходящий поток).

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:

дивергенция -- это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции, применённый к полю F, обозначают как или

Определение дивергенции выглядит так:

где ФF -- поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю. Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведённые в следующем параграфе).

таким образом значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля gradF в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя.

Оно является частным случаем уравнения Гельмгольца. Может рассматриваться в трехмерном (1), двумерном (2), одномерном и n – мерном пространствах:

Оператор называется оператором Лапласа (Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.).

Решение уравнения Лапласа

Решениями уравнения Лапласа являются гармонические функции.

Уравнение Лапласа относится к эллиптическим уравнениям. Неоднородное уравнение Лапласа становится уравнением Пуассона.

Каждое решение уравнения Лапласа в ограниченной области G однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе области G. Если решение отыскивается во всём пространстве , краевые условия сводятся к предписанию некоторой асимптотики для f при . Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются задача Дирихле, когда на границе задано значение самой функции f, и задача Немана, когда задано значение f по нормали к границе.

Уравнение Лапласа в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Уравнение Лапласа можно записать не только в декартовых координатах.

В сферических координатах ( уравнение Лапласа имеет следующий вид:

В полярных координатах ( система координат уравнение имеет вид:

В цилиндрических координатах ( уравнение имеет вид:

К уравнению Лапласа приводят многие задачи физики и механики, в которых физическая величина является функцией только координат точки. Так, уравнение Лапласа описывает потенциал в области, не содержащей тяготеющих масс, потенциал электростатического поля – в области, не содержащей зарядов, температуру при стационарных процессах и т. д. Большое количество инженерных задач, связанных, в частности, с медленным стационарным обтеканием корпуса корабля, стационарной фильтрацией подземных вод, возникновением поля вокруг электромагнита, а также стационарного электрического поля в окрестности фарфорового изолятора или заглубленного в землю электрического кабеля переменного поперечного сечения, сводится к решению трехмерных уравнений Лапласа или Пуассона. Большое значение оператор Лапласа играет в квантовой механике.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найдите поле между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами и , разность потенциалов между которыми равна
Решение	Запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах с учетом аксиальной симметрии: Оно имеет решение +B. Выберем нулевой потенциал на наружном цилиндре, найдем, получим: Следовательно Получим: В результате имеем:
Ответ	Поле между двумя коаксиальными цилиндрами задается функцией

ПРИМЕР 2

Задание	Исследовать устойчивость равновесия положительно заряженной частицы в электрическом поле (теорема Ирншоу).
Решение	Поместим начало координат в положение равновесия частицы. При этом можно считать, что потенциал представляется в виде: