Наиболее удобным для аналитического описания является так называемый экспоненциальный (или показательный) закон надежности, который выражается формулой

где - постоянный параметр.

График экспоненциального закона надежности показан на рис. 7.10. Для этого закона функция распределения времени безотказной работы имеет вид

а плотность

Это есть уже известный нам показательный закон распределения, по которому распределено расстояние между соседними событиями в простейшем потоке с интенсивностью (см. § 4 гл. 4).

При рассмотрении вопросов надежности часто бывает удобно представлять себе дело так, словно на элемент действует простейший поток отказов с интенсивностью Я; элемент отказывает в момент, когда приходит первое событие этого потока.

Образ «потока отказов» приобретает реальный смысл, если отказавший элемент немедленно заменяется новым (восстанавливается).

Последовательность случайных моментов времени, в которые проис ходят отказы (рис. 7.11), представляет собой простейший поток событии, а интервалы между событиями - независимые случайные величины, распределенные по показательному закону (3,3),

Понятие «интенсивности отказов» может быть введено не только для экспоненциального, но и для любого другого закона надежности о плотностью вся разница будет в том, что при неэкспоненциальном законе интенсивность отказов Я будет уже не постоянной величиной, а переменной.

Интенсивностью (или иначе «опасностью») отказов называется отношение плотности распределения времени безотказной работы элемента к его надежности:

Поясним физический смысл этой характеристики. Пусть одновременно испытывается большое число N однородных элементов, каждый - до момента своего отказа. Обозначим - число элементов, оказавшихся исправными к моменту , как и и раньше, - число элементов, отказавших на малом участке времени На единицу времени придется среднее число отказов

Разделим эту величину не на общее число испытываемых элементов N, а на число исправных к моменту t элементов . Нетрудно убедиться, что при большом N это отношение будет приближенно равно интенсивности отказов

Действительно, при большом N

Но согласно формуле (2.6)

В работах по надежности приближенное выражение (3.5) часто рассматривают как определение интенсивности отказов, т. е. определяют ее как среднее число отказов в единицу времени, приходящееся на один работающий элемент.

Характеристике можно дать еще одно истолкование: это есть условная плотность вероятности отказа элемента в данный момент времени t, при условии, что до момента t он работал безотказно. Действительно, рассмотрим элемент вероятности - вероятность того, что за время элемент перейдет из состояния «работает» в состояние «не работает», при условии, что до момента t он работал. В самом деле, безусловная вероятность отказа элемента на участке равна Это - вероятность совмещения двух событий:

А - элемент работал исправно до момента

В - элемент отказал на участке времени По правилу умножения вероятностей:

Учитывая, что получим:

а величина есть не что иное, как условная плотность вероятности перехода из состояния «работает» в состояние «отказал» для момента t.

Если известна интенсивность отказов , то можно выразить через нее надежность Учитывая, что запишем формулу (3.4) в виде:

Интегрируя, получим:

Таким образом надежность выражается через интенсивность отказов.

В частном случае, когда , формула (3.6) дает:

т. е. уже известный нам экспоненциальный закон надежности.

Пользуясь образом «потока отказов», можно истолковать не только формулу (3.7), но и более общую формулу (3.6). Представим себе (совершенно условно!), что на элемент с произвольным законом надежности действует поток отказов с переменной интенсивностью Тогда формула (3.6) для выражает вероятность того, что на участке времени (0, t) не появится ни одного отказа.

Таким образом, как при экспоненциальном, так и при любом другом законе надежности работу элемента, начиная с момента включения можно представлять себе так, что на элемент действует пуассоновский поток отказов; для экспоненциального закона надежности это будет поток с постоянной интенсивностью , а для неэкспоненциального - с переменной интенсивностью

Заметим, что этот образ годится только в том случае, когда отказавший элемент не заменяется новым. Если, как мы это делали раньше, немедленно заменять отказавший элемент новым, поток отказов уже не будет пуассоновским. Действительно, интенсивность его будет зависеть не просто от времени t, протекшего с начала всего процесса, а и от времени , протекшего со случайного момента включения именно данного элемента; значит, поток событий имеет последействие и пуассоновским не является.

Если же на протяжении всего исследуемого процесса данный элемент не заменяется и может отказать не более одного раза, то при описании процесса, зависящего от его функционирования, можно пользоваться схемой марковского случайного процесса, но при переменной, а не постоянной интенсивности потока отказов.

Если неэкспоненциальный закон надежности сравнительно мало отличается от экспоненциального, то можно, в целях упрощения, приближенно заменить его экспоненциальным (рис. 7.12). Параметр этого закона выбирается так, чтобы сохранить неизменным математическое ожидание времени безотказной работы, равное, как мы знаем, площади, ограниченной кривой и осями координат. Для этого нужно положить параметр показательного закона равным

где - площадь, ограниченная кривой надежности

Таким образом, если мы хотим характеризовать надежность элемента некоторой средней интенсивностью отказов, нужно в качестве этой интенсивности взять величину, обратную среднему времени безотказной работы элемента.

Выше мы определяли величину t как площадь, ограниченную кривой Однако, если требуется знать только среднее время безотказной работы элемента, проще найти его непосредственно по статистическому материалу как среднее арифметическое всех наблюденных значений случайной величины Т - времени работы элемента до его отказа. Такой способ может быть применен и в случае, когда число опытов невелико и не позволяет достаточно точно построить кривую

Пример 1. Надежность элемента убывает со временем по линейному закону (рис. 7.13). Найти интенсивность отказов и среднее время безотказной работы элемента

Решение. По формуле (3.4) на участке ) имеем:

Согласно заданному закону надежности 4

Интенсивность отказов - условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник.

Таким образом, статистически интенсивность отказов равна числу отказов, происшедших за единицу времени, отнесенному к числу не отказавших к данному моменту объектов.

Типичное изменение интенсивности отказов во времени показано на рис. 5.

Опыт эксплуатации сложных систем показывает, что изменение интенсивности отказов λ(t ) большинства количества объектов описывается U - образной кривой.

Время можно условно разделить на три характерных участка: 1. Период приработки. 2. Период нормальной эксплуатации. 3. Период старения объекта.

Рис. 5. Типичное изменение интенсивности отказов

Период приработки объекта имеет повышенную интенсивность отказов, вызванную приработочными отказами, обусловленными дефектами производства, монтажа и наладки. Иногда с окончанием этого периода связывают гарантийное обслуживание объекта, когда устранение отказов производится изготовителем. В период нормальной эксплуатации интенсивность отказов практически остаётся постоянной, при этом отказы носят случайный характер и появляются внезапно, прежде всего, из-за случайных изменений нагрузки, несоблюдения условий эксплуатации, неблагоприятных внешних факторов и т.п. Именно этот период соответствует основному времени эксплуатации объекта.

Возрастание интенсивности отказов относится к периоду старения объекта и вызвано увеличением числа отказов из-за износа, старения и других причин, связанных с длительной эксплуатацией. То есть вероятность отказа элемента, дожившего для момента t в некотором последующем промежутке времени зависит от значений λ(u ) только на этом промежутке, а следовательно интенсивность отказов - локальный показатель надёжности элемента на данном промежутке времени.

Тема 1.3. Надежность восстанавливаемых систем

Современные системы автоматики относятся к сложным восстанавливаемым системам. Такие системы в процессе работы, при отказе некоторых элементов ремонтируются и продолжают дальнейшую работу. Свойство систем восстанавливаться в процессе работы "закладывается" при их проектировании и обеспечивается при изготовлении, а проведение ремонтно-восстановительных операций предусмотрено в нормативно- технической документации.

Проведение ремонтно-восстановительных мероприятий является по существу еще одним способом, направленным на повышение надежности системы.

1.3.1. Показатели надежности восстанавливаемых систем

С количественной стороны такие системы кроме рассмотренных ранее показателей надежности, характеризуются еще и комплексными показателями надежности.

Комплексным показателем надежности является показатель надежности, характеризующий несколько свойств, составляющих надежность объекта.

Комплексными показателями надежности, которые наиболее широко применяются при характеристике надежности восстанавливаемых систем, являются:

Коэффициент готовности;

Коэффициент оперативной готовности;

Коэффициент технического использования.

Коэффициент готовности - вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых перерывов, в течении которых применение объекта по назначению не предусматривается.

Таким образом, коэффициент готовности характеризует одновременно два различных свойства объекта - безотказность и ремонтопригодность.

Коэффициент готовности является важным параметром, однако, он не является универсальным.

Коэффициент оперативной готовности - вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых перерывов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается, и, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени.

Коэффициент характеризует надежность объектов, необходимость применения которых возникает в произвольный момент времени, после которого требуется определенная безотказная работа. До этого момента аппаратура может находиться в режиме дежурства, режим применения в других рабочих функциях.

Коэффициент технического использования - отношение математического ожидания интервалов времени пребывания объектов в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к сумме математических ожиданий интервалов времени пребывания объекта в работоспособном состоянии, простоев, обусловленных техническим обслуживанием, и ремонтов за тот же период эксплуатации.

Интенсивностью отказов называется отношение числа отказавших образцов аппаратуры в единицу времени к среднему числу образцов, исправно работающих в данный отрезок времени при условии, что отказавшие образцы не восстанавливаются и не заменяются исправными.

Эта характеристика обозначается .Согласно определению

где n(t) – число отказавших образцов в интервале времени от до ; – интервал времени, - среднее число исправно работающих образцов в интервале ; N i - число исправно работающих образцов в начале интервала , N i +1 – число исправно работающих образцов в конце интервала .

Выражение (1.20) является статистическим определением интенсивности отказов. Для вероятностного представления этой характеристики установим зависимость между интенсивностью отказов, вероятностью безотказной работы и частотой отказов.

Подставим в выражение (1.20) выражение для n(t) из формул (1.11) и (1.12). Тогда получим:

.

Учитывая выражение (1.3) и то, что N ср = N 0 – n(t), найдем:

.

Устремляя к нулю и переходя к пределу, получим:

. (1.21)

Интегрируя выражение (1.21), получим:

Так как , то на основании выражения (1.21) получим:

. (1.24)

Выражения (1.22) – (1.24) устанавливают зависимость между вероятностью безотказной работы, частотой отказов и интенсивностью отказов.

Выражение (1.23) может быть вероятностным определением интенсивности отказов.

Интенсивность отказов как количественная характеристика надежности обладает рядом достоинств. Она является функцией времени и позволяет наглядно установить характерные участки работы аппаратуры. Это может позволить существенно повысить надежность аппаратуры. Действительно, если известны время приработки (t 1) и время конца работы (t 2), то можно разумно установить время тренировки аппаратуры до начала ее экс

плуатации и ее ресурс до ремонта. Это позволяет уменьшить число отказов при эксплуатации, т.е. приводит, в конечном счете, к повышению надежности аппаратуры.

Интенсивность отказов как количественная характеристика надежности имеет тот же недостаток, что и частота отказов: она позволяет достаточно просто характеризовать надежность аппаратуры лишь до первого отказа. Поэтому она является удобной характеристикой надежности систем разового применения и, в частности, простейших элементов.

По известной характеристике наиболее просто определяются остальные количественные характеристики надежности.

Указанные свойства интенсивности отказов позволяют ее считать основной количественной характеристикой надежности простейших элементов радиоэлектроники.

Частотой отказов называется отношение числа отказавших образцов аппаратуры в единицу времени к числу образцов, первоначально установленных на испытание при условии, что отказавшие образцы не восстанавливаются и не заменяются исправными.

Так как число отказавших образцов в интервале времени может зависеть от расположения этого промежутка по оси времени, то чистота отказов является функцией времени. Эта характеристика и дальнейшем обозначается.

Интервал времени;

Число образцов аппаратуры, первоначально установленных на испытание

Выражение (10) является статистическим определением частоты отказов. Этой количественной характеристике надежности легко дать, вероятностное определение. Вычислим в выражении (10) , т. е. число образцов, отказавших в интервале.

Очевидно:

где N() -- число образцов, исправно работающих к моменту времени;

Число образцов, исправно работающих к моменту времени;

При достаточно большом числе образцов справедливы соотношения:

Подставляя (11) в (10) и учитывая (12), (13), получим:

Устремляя к нулю и переходя к пределу, получим:

или с учетом (4):

Из этого выражения видно, что частота отказов есть плотность распределения времени работы аппаратуры до ее отказа. Численно она равна взятой с обратным знаком производной от вероятности безотказной работы. Выражение (16) является вероятностным определением частоты отказов.

Таким образом, между частотой отказов, вероятностью безотказной работы и вероятностью отказов при любом законе распределения времени возникновения отказов существуют однозначные зависимости. Эти зависимости на основании (16) и (4) имеют вид:

Средней частотой отказов называется отношение числа отказавших образцов в единицу времени к числу испытываемых образцов при условии, что все образцы, вышедшие из строя, заменяются исправными (новыми или восстановленными).

Интенсивность отказов

Интенсивностью отказов называется отношение числа отказавших образцов аппаратуры в единицу времени к среднему числу образцов, исправно работающих в данный отрезок времени при условии, что отказавшие образцы не восстанавливаются и не заменяются исправными.

где - число отказавших образцов в интервале времени от до;

Интервал времени;

Среднее число исправно работающих образцов в интервале;

Число исправно работающих образцов в начале интервала;

Число исправно работающих образцов в конце интервала.

Выражение (19) является статистическим определением интенсивности отказов. Для вероятностного представления этой характеристики установим зависимость между интенсивностью отказов, вероятностью безотказной работы и частотой отказов.

Подставим в выражение (19) вместо его значение из (11) и (12). Тогда получим:

Учитывая, найдем:

Устремляем к нулю и переходя к пределу, получим:

Интегрируя, получим:

Среднее время безотказной работы

Среднее время безотказной работы называется математическое ожидание времени безотказной работы. Среднее время безотказной работы определяется зависимостью:

Для определения среднего времени безотказной работы из статических данных пользуются формулой:

где -время безотказной работы i-го образца;

N0 - число образцов, над которыми проводится испытание.

Подставим в выражение (25) вместо производную от безотказной работы с обратным знаком и выполним интегрирование по частям. Получим:

Так как не может иметь отрицательное значение, то заменится на 0, т.к. и, тогда:

Критерием надежности называется признак, по которому можно количественно оценить надежность различных устройств. К числу наиболее широко применяемых критериев надежности относятся:

Вероятность безотказной работы в течение определенного времени P (t );

Tср ;

Наработка на отказ tср ;

Частота отказов f (t ) или а (t );

Интенсивность отказов λ(t );

Параметр потока отказов ω(t);

Функция готовности K г(t );

Коэффициент готовности K г.

Характеристикой надежности следует называть количественное значение критерия надежности конкретного устройства. Выбор количественных характеристик надежности зависит от вида объекта.

2.1.2. Критерии надежности невосстанавливаемых объектов

Рассмотрим следующую модель работы устройства. Пусть в работе (на испытании) находится N 0 элементов и работа считается законченной, если все они отказали. Причем вместо отказавших элементов отремонтированные не ставятся. Тогда критериями надежности данных изделий являются:

Вероятность безотказной работы P (t );

Частота отказов f (t ) или a (t );

Интенсивность отказов λ(t );

Средняя наработка до первого отказа Tср .

Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.

Согласно определению:

P (t ) = P (T > t ), (4.2.1)

где: T - время работы элемента от его включения до первого отказа;

t - время, в течение которого определяется вероятность безотказной работы.

Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оценивается выражением:

где: N 0 - число элементов в начале работы (испытаний);

n (t ) - число отказавших элементов за время t ;

Статистическая оценка вероятности безотказной работы. При большом числе элементов (изделий) N 0 статистическая оценка P (t ) практически совпадает с вероятностью безотказной работы P (t ). На практике иногда более удобной характеристикой является вероятность отказа Q (t ).

Вероятностью отказа называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени возникает хотя бы один отказ. Отказ и безотказная работа являются событиями несовместными и противоположными, поэтому:

Частотой отказов по статистическим данным называется отношение числа отказавших элементов в единицу времени к первоначальному числу работающих (испытываемых) при условии, что все вышедшие из строя изделия не восстанавливаются. Согласно определению:

где: n (Δt ) - число отказавших элементов в интервале времени от (t – Δt ) / 2 до (t + Δt ) / 2.

Частота отказов есть плотность вероятности (или закон распределения) времени работы изделия до первого отказа. Поэтому:

Интенсивностью отказов по статистическим данным называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный отрезок времени. Согласно определению

где: - среднее число исправно работающих элементов в интервале Δt ;

Ni - число изделий, исправно работающих в начале интервала Δt ;

Ni +1 - число элементов, исправно работающих в конце интервала Δt .

Вероятностная оценка характеристики λ(t ) находится из выражения:

λ(t ) = f (t ) / P (t ). (4.2.7)

Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы связаны между

собой зависимостью:

Средней наработкой до первого отказа называется математическое ожидание времени работы элемента до отказа. Как математическое ожидание, Tср вычисляется через частоту отказов (плотность распределения времени безотказной работы):

Так как t положительно и P (0)=1, а P (∞) = 0, то:

По статистическим данным об отказах средняя наработка до первого отказа вычисляется по формуле

где: t i - время безотказной работы i -го элемента;

N 0 - число исследуемых элементов.

Как видно из формулы (4.2.11), для определения средней наработки до первого отказа необходимо знать моменты выхода из строя всех испытуемых элементов. Поэтому для вычисления средней наработки на отказ пользоваться указанной формулой неудобно. Имея данные о количестве вышедших из строя элементов ni в каждом i -м интервале времени, среднюю наработку до первого отказа лучше определять из уравнения:

В выражении (4.2.12) tсрi и m находятся по следующим формулам:

t cpi = (t i –1 + t i ) / 2, m = t k / Δt ,

где: t i –1 - время начала i -го интервала;

t i - время конца i -го интервала;

t k - время, в течение которого вышли из строя все элементы;

Δt = (t i –1 – t 1) - интервал времени.

Из выражений для оценки количественных характеристик надежности видно, что все характеристики, кроме средней наработки до первого отказа, являются функциями времени. Конкретные выражения для практической оценки количественных характеристик надежности устройств рассмотрены в разделе «Законы распределения отказов».

Рассмотренные критерии надежности позволяют достаточно полно оценить надежность невосстанавливаемых изделий. Они также позволяют оценить надежность восстанавливаемых изделий до первого отказа . Наличие нескольких критериев вовсе не означает, что всегда нужно оценивать надежность элементов по всем критериям.

Наиболее полно надежность изделий характеризуется частотой отказов f (t ) или a (t ). Это объясняется тем, что частота отказов является плотностью распределения, а поэтому несет в себе всю информацию о случайном явлении - времени безотказной работы.

Средняя наработка до первого отказа является достаточно наглядной характеристикой надежности. Однако применение этого критерия для оценки надежности сложной системы ограничено в тех случаях, когда:

Время работы системы гораздо меньше среднего времени безотказной работы;

Закон распределения времени безотказной работы не однопараметрический и для достаточно полной оценки требуются моменты высших порядков;

Система резервированная;

Интенсивность отказов не постоянная;

Время работы отдельных частей сложной системы разное.

Интенсивность отказов - наиболее удобная характеристика надежности простейших элементов, так как она позволяет более просто вычислять количественные характеристики надежности сложной системы.

Наиболее целесообразным критерием надежности сложной системы является вероятность безотказной работы . Это объясняется следующими особенностями вероятности безотказной работы:

Она входит в качестве сомножителя в другие, более общие характеристики системы, например, в эффективность и стоимость;

Характеризует изменение надежности во времени;

Может быть получена сравнительно просто расчетным путем в процессе проектирования системы и оценена в процессе ее испытания.

2.1.3. Критерии надежности восстанавливаемых объектов

Рассмотрим следующую модель работы. Пусть в работе находится N элементов и отказавшие элементы немедленно заменяются исправными (новыми или отремонтированными). Если не учитывать времени, потребного на восстановление системы, то количественными характеристиками надежности могут быть параметр потока отказов ω(t) и наработка на отказ tср .

Параметром потока отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу испытываемых при условии, что все вышедшие из строя изделия заменяются исправными (новыми или отремонтированными). Статистическим определением служит выражение:

где: n (Δt ) - число отказавших образцов в интервале времени от t – Δt /2

до t +Δt /2;

N - число испытываемых элементов;

Δt - интервал времени.

Параметр потока отказов и частота отказов для ординарных потоков с ограниченным последействием связаны интегральным уравнением Вольтера второго рода:

По известной f (t ) можно найти все количественные характеристики надежности невосстанавливаемых изделий. Поэтому (4.2.14) является основным уравнением, связывающим количественные характеристики надежности невосстанавливаемых и восстанавливаемых элементов при мгновенном восстановлении.

Уравнение (4.2.14) можно записать в операторной форме:

Соотношения (4.2.15) позволяют найти одну характеристику через другую, если существуют преобразования Лапласа функций f (s ) и ω (s ) и обратные преобразования выражений (4.2.15).

Параметр потока отказов обладает следующими важными свойствами:

1) для любого момента времени, независимо от закона распределения времени безотказной работы, параметр потока отказов больше, чем частота отказов, т. е. ω(t ) > f (t );

2) независимо от вида функций f (t ) параметр потока отказов ω(t ) при t → ∞ стремится к 1/Tср . Это важное свойство параметра потока отказов означает, что при длительной эксплуатации ремонтируемого изделия поток его отказов, независимо от закона распределения времени безотказной работы, становится стационарным. Однако это вовсе не означает, что интенсивность отказов есть величина постоянная;

3) если λ(t ) - возрастающая функция времени, то λ(t ) > ω(t ) > f (t ), если λ(t ) - убывающая функция, то ω(t ) > λ(t ) > f (t );

4) при λ(t ) ≠ const параметр потока отказов системы не равен сумме параметров потока отказов элементов, т. е.:

Это свойство параметра потока отказов позволяет утверждать, что при вычислении количественных характеристик надежности сложной системы нельзя суммировать имеющиеся в настоящее время значения интенсивности отказов элементов, полученных по статистическим данным об отказах изделий в условиях эксплуатации, так как указанные величины являются фактически параметрами потока отказов;

5) при λ(t ) = λ= const параметр потока отказов равен интенсивности отказов

ω(t ) = λ(t ) = λ.

Из рассмотрения свойств интенсивности и параметра потока отказов видно, что эти характеристики различны.

В настоящее время широко используются статистические данные об отказах, полученные в условиях эксплуатации оборудования. При этом они часто обрабатываются таким образом, что приводимые характеристики надежности являются не интенсивностью отказов, а параметром потока отказов ω(t ). Это вносит ошибки при расчетах надежности. В ряде случаев они могут быть значительными.

Для получения интенсивности отказов элементов из статистических данных об отказах ремонтируемых систем необходимо воспользоваться формулой (4.2.6), для чего необходимо знать предысторию каждого элемента технологической схемы. Это может существенно усложнить методику сбора статистических данных об отказах. Поэтому целесообразно определять λ(t ) по параметру потока отказов ω(t ). Методика расчета сводится

к следующим вычислительным операциям:

По статистическим данным об отказах элементов ремонтируемых изделий и по формуле (4.2.13) вычисляется параметр потока отказов и строится гистограмма ω i (t );

Гистограмма заменяется кривой, которая аппроксимируется уравнением;

Находится преобразование Лапласа ω i (s ) функции ω i (t );

По известной ω i (s ) на основании (4.2.15) записывается преобразование Лапласа f i (s ) частоты отказов;

По известной f i (s ) находится обратное преобразование частоты отказов f i (t );

Находится аналитическое выражение для интенсивности отказов по формуле:

Строится график λ i (t ).

Если имеется участок, где λ i (t ) = λ i = const, то постоянное значение интенсивности отказов принимается для оценки вероятности безотказной работы. При этом считается справедливым экспоненциальный закон надежности.

Приведенная методика не может быть применена, если не удается найти по f (s ) обратное преобразование частоты отказов f (t ). В этом случае приходится применять приближенные методы решения интегрального уравнения (4.2.14).

Наработкой на отказ называется среднее значение времени между соседними отказами. Эта характеристика определяется по статистическим данным об отказах по формуле:

где: t i - время исправной работы элемента между (i – 1)-м и i -м отказами;

n - число отказов за некоторое время t .

Из формулы (4.2.18) видно, что в данном случае наработка на отказ определяется по данным испытания одного образца изделия. Если на испытании находится N образцов в течение времени t , то наработка на отказ вычисляется по формуле:

где: t ij - время исправной работы j -го образца изделия между (i – 1)-м и i -м отказом;

n j - число отказов за время tj -го образца.

Наработка на отказ является достаточно наглядной характеристикой надежности, поэтому она получила широкое распространение на практике. Параметр потока отказов и наработка на отказ характеризуют надежность восстанавливаемого изделия и не учитывают времени, необходимого на его восстановление. Поэтому они не характеризуют готовности устройства к выполнению своих функций в нужное время. Для этой цели вводятся такие критерии, как коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя.

Коэффициентом готовности называется отношение времени исправной работы к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев устройства, взятых за один и тот же календарный срок. Эта характеристика по статистическим данным определяется:

где: t р - суммарное время исправной работы изделия;

t п - суммарное время вынужденного простоя.

Времена tр и tп вычисляются по формулам:

где: t рi - время работы изделия между (i – 1)-м и i -м отказом;

t пi - время вынужденного простоя после i -го отказа;

n - число отказов (ремонтов) изделия.

Для перехода к вероятностной трактовке величины tр и tп заменяются математическими ожиданиями времени между соседними отказами и времени восстановления соответственно. Тогда:

K r = t cp / (t cp + t в ), (4.2.22)

где: t ср - наработка на отказ;

t в - среднее время восстановления.

Коэффициентом вынужденного простоя называется отношение времени вынужденного простоя к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок.

Согласно определению:

K п = t p / (t p + t п ), (4.2.23)

или, переходя к средним величинам:

K п = t в / (t cp + t в ). (4.2.24)

Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя связаны между собой зависимостью:

K п = 1– K г . (4.2.25)

При анализе надежности восстанавливаемых систем обычно коэффициент готовности вычисляют по формуле:

K г =T cp / (T cp + t в ). (4.2.26)

Формула (4.2.26) верна только в том случае, если поток отказов простейший, и тогда t ср = T ср .

Часто коэффициент готовности, вычисленный по формуле (4.2.26), отождествляют с вероятностью того, что в любой момент времени восстанавливаемая система исправна. На самом деле указанные характеристики неравноценны и могут быть отождествлены при определенных допущениях.

Действительно, вероятность возникновения отказа ремонтируемой системы в начале эксплуатации мала. С ростом времени t эта вероятность возрастает. Это означает, что вероятность застать систему в исправном состоянии в начале эксплуатации будет выше, чем после истечения некоторого времени. Между тем на основании формулы (4.2.26) коэффициент готовности не зависит от времени работы.

Для выяснения физического смысла коэффициента готовности Kг запишем формулу для вероятности застать систему в исправном состоянии. При этом рассмотрим наиболее простой случай, когда интенсивность отказов λ и интенсивность восстановления μ есть величины постоянные.

Предполагая, что при t = 0 система находится в исправном состоянии (P (0) = 1), вероятность застать систему в исправном состоянии определяется из выражений:

где λ = 1 /T cp ; μ = 1 / t в ; K г =T cp / (T cp + t в ).

Это выражение устанавливает зависимость между коэффициентом готовности системы и вероятностью застать ее в исправном состоянии в любой момент времени t .

Из (4.2.27) видно, что приt → ∞, т. е. практически коэффициент готовности имеет смысл вероятности застать изделие в исправном состоянии при установившемся процессе эксплуатации.

В некоторых случаях критериями надежности восстанавливаемых систем могут быть критерии невосстанавливаемых систем , например: вероятность работы, частота отказов, средняя наработка до первого отказа, интенсивность отказов . Такая необходимость возникает :

Когда имеет смысл оценивать надежность восстанавливаемой системы до первого отказа;

В случае, когда применяется резервирование с восстановлением отказавших резервных устройств в процессе работы системы, причем отказ всей резервированной системы не допускается.