Транспонирование матрицы третьего порядка. Нахождение обратной матрицы

При работе с матрицами иногда нужно их транспонировать, то есть, говоря простыми словами, перевернуть. Конечно, можно перебить данные вручную, но Эксель предлагает несколько способов сделать это проще и быстрее. Давайте разберем их подробно.

Транспонирование матрицы – это процесс смены столбцов и строк местами. В программе Excel имеется две возможности проведения транспонирования: используя функцию ТРАНСП и при помощи инструмента специальной вставки. Рассмотрим каждый из этих вариантов более подробно.

Способ 1: оператор ТРАНСП

Функция ТРАНСП относится к категории операторов «Ссылки и массивы» . Особенностью является то, что у неё, как и у других функций, работающих с массивами, результатом выдачи является не содержимое ячейки, а целый массив данных. Синтаксис функции довольно простой и выглядит следующим образом:

ТРАНСП(массив)

То есть, единственным аргументом данного оператора является ссылка на массив, в нашем случае матрицу, который следует преобразовать.

Посмотрим, как эту функцию можно применить на примере с реальной матрицей.

1. Выделяем незаполненную ячейку на листе, планируемую сделать крайней верхней левой ячейкой преобразованной матрицы. Далее жмем на значок «Вставить функцию» , который расположен вблизи строки формул.



2. Производится запуск Мастера функций . Открываем в нем категорию «Ссылки и массивы» или «Полный алфавитный перечень» . После того, как отыскали наименование «ТРАНСП» , производим его выделение и жмем на кнопку «OK» .



3. Происходит запуск окна аргументов функции ТРАНСП . Единственному аргументу данного оператора соответствует поле «Массив» . В него нужно внести координаты матрицы, которую следует перевернуть. Для этого устанавливаем курсор в поле и, зажав левую кнопку мыши, выделяем весь диапазон матрицы на листе. После того, как адрес области отобразился в окне аргументов, щелкаем по кнопке «OK» .



4. Но, как видим, в ячейке, которая предназначена для вывода результата, отображается некорректное значение в виде ошибки «#ЗНАЧ!» . Это связано с особенностями работы операторов массивов. Чтобы исправить эту ошибку, выделяем диапазон ячеек, в котором число строк должно быть равным количеству столбцов первоначальной матрицы, а число столбцов – количеству строк. Подобное соответствие очень важно для того, чтобы результат отобразился корректно. При этом, ячейка, в которой содержится выражение «#ЗНАЧ!» должна быть верхней левой ячейкой выделяемого массива и именно с неё следует начинать процедуру выделения, зажав левую кнопку мыши. После того, как вы провели выделение, установите курсор в строку формул сразу же после выражения оператора ТРАНСП , которое должно отобразиться в ней. После этого, чтобы произвести вычисление, нужно нажать не на кнопку Enter , как принято в обычных формулах, а набрать комбинацию Ctrl+Shift+Enter .



5. После этих действий матрица отобразилась так, как нам надо, то есть, в транспонированном виде. Но существует ещё одна проблема. Дело в том, что теперь новая матрица представляет собой связанный формулой массив, который нельзя изменять. При попытке произвести любое изменение с содержимым матрицы будет выскакивать ошибка. Некоторых пользователей такое положение вещей вполне удовлетворяет, так как они не собираются производить изменения в массиве, а вот другим нужна матрица, с которой полноценно можно работать.

   Чтобы решить данную проблему, выделяем весь транспонированный диапазон. Переместившись во вкладку «Главная» щелкаем по пиктограмме «Копировать» , которая расположена на ленте в группе «Буфер обмена» . Вместо указанного действия можно после выделения произвести набор стандартного сочетания клавиш для копирования Ctrl+C .



6. Затем, не снимая выделения с транспонированного диапазона, производим клик по нему правой кнопкой мыши. В контекстном меню в группе «Параметры вставки» щелкаем по иконке «Значения» , которая имеет вид пиктограммы с изображением чисел.

   

   Вслед за этим формула массива ТРАНСП будет удалена, а в ячейках останутся только одни значения, с которыми можно работать так же, как и с исходной матрицей.

Способ 2: транспонирование матрицы с помощью специальной вставки

Кроме того, матрицу можно транспонировать с помощью одного элемента контекстного меню, который носит название «Специальная вставка» .

После указанных действий на листе останется только преобразованная матрица.

Этими же двумя способами, о которых шла речь выше, можно транспонировать в Excel не только матрицы, но и полноценные таблицы. Процедура при этом будет практически идентичной.

Итак, мы выяснили, что в программе Excel матрицу можно транспонировать, то есть, перевернуть, поменяв столбцы и строчки местами, двумя способами. Первый вариант предполагает использование функции ТРАНСП , а второй – инструменты специальной вставки. По большому счету конечный результат, который получается при использовании обоих этих способов, ничем не отличается. Оба метода работают практически в любой ситуации. Так что при выборе варианта преобразования, на первый план выходят личные предпочтения конкретного пользователя. То есть, какой из данных способов для вас лично удобнее, тот и используйте.

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.

Назначение сервиса . С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения , транспонированную матрицу A T , союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления .

Инструкция . Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A .

См. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Нахождение транспонированной матрицы A T .
2. Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
3. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.

Следующий алгоритм нахождения обратной матрицы аналогичен предыдущему за исключением некоторых шагов: сначала вычисляются алгебраические дополнения, а затем определяется союзная матрица C .

1. Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
2. Вычисление определителя матрицы A . Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
3. Определение алгебраических дополнений.
4. Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C .
5. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
6. Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Пример №1 . Запишем матрицу в виде:

Алгебраические дополнения. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2·4-5·3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1·5-(-2·2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Другой алгоритм нахождения обратной матрицы

Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.

1. Находим определитель данной квадратной матрицы A .
2. Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .
3. Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
4. Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A .

Как видим, операция транспонирования может применяться как в начале, над исходной матрицей, так и в конце, над полученными алгебраическими дополнениями.

Особый случай : Обратной, по отношению к единичной матрице E , является единичная матрица E .

Чтобы транспонировать матрицу, надо строки матрицы записать в столбцы.

Если , то транспонированная матрица

Если , то

Задание 1. Найти

1. Определители квадратных матриц.

Для квадратных матриц вводится число, которое называется определителем.

Для матриц второго порядка (размерность ) определитель задается формулой:

Например, для матрицы ее определитель

Пример. Вычислить определители матриц.

Для квадратных матриц третьего порядка (размерность ) существует правило «треугольника»: на рисунке пунктирная линия означает – умножить числа, через которые проходит пунктирная линия. Первые три числа надо сложить, следующие три числа надо вычитать.

Пример . Вычислить определитель.

Чтобы дать общее определение определителя, надо ввести понятие минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента матрицы называется определитель, полученный вычеркиванием - той строки и - того столбца.

Пример. Найдем некоторые миноры матрицы А.

Алгебраическим дополнением элемента называется число .

Значит, если сумма индексов и четная, то и ничем не отличаются. Если же сумма индексов и нечетная, то и отличаются только знаком.

Для предыдущего примера .

Определителем матрицы называется сумма произведений элементов некоторой строки

(столбца) на их алгебраические дополнения. Рассмотрим это определение на матрице третьего порядка.

Первая запись называется разложением определителя по первой строке, вторая - разложение по второму столбцу, последняя – разложение по третьей строке. Всего таких разложений можно записать шесть раз.

Пример . Вычислить определитель по правилу «треугольника» и разложив его по первой строке, затем по третьему столбцу, затем по второй строке.

Разложим определитель по первой строке:

Разложим определитель по третьему столбцу:

Разложим определитель по второй строке:

Заметим, что чем больше нулей, тем проще вычисления. Например, раскладывая по первому столбцу, получим

Среди свойств определителей есть свойство, позволяющее получать нули, а именно:

Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на ненулевое число, то определитель не изменится.

Возьмем этот же определитель и получим нули, например, в первой строке.

Определители более высоких порядков вычисляются таким же образом.

Задание 2. Вычислить определитель четвертого порядка:

1) разложив по любой строке или любому столбцу

2) получив предварительно нули

Получим дополнительный ноль, например, во втором столбце. Для этого элементы второй строки умножим на -1 и прибавим к четвертой строке:

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Покажем решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Задание 2. Решить систему уравнений.

Надо вычислить четыре определителя. Первый называется основным и состоит из коэффициентов при неизвестных:

Заметим, что если , систему методом Крамера решить нельзя.

Три остальных определителя обозначаются , , и получаются заменой соответствующего столбца на столбец правых частей.

Находим . Для этого первый столбец в основном определителе меняем на столбец правых частей:

Находим . Для этого второй столбец в основном определителе меняем на столбец правых частей:

Находим . Для этого третий столбец в основном определителе меняем на столбец правых частей:

Решение системы находим по формулам Крамера: , ,

Таким образом решение системы , ,

Сделаем проверку, для этого найденное решение подставим во все уравнения системы.

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Если у квадратной матрицы определитель не равен нулю, существует обратная матрица , такая что . Матрица называется единичной и имеет вид

Обратная матрица находится по формуле:

Пример . Найти обратную матрицу к матрице

Сначала вычисляем определитель.

Находим алгебраические дополнения:

Записываем обратную матрицу:

Чтобы проверить вычисления, надо убедиться, что .

Пусть дана система линейных уравнений:

Обозначим

Тогда система уравнений может быть записана в матричной форме как , а отсюда . Полученная формула называется матричным способом решения системы.

Задание 3. Решить систему матричным способом.

Надо выписать матрицу системы, найти к ней обратную и затем умножить на столбец правых частей.

Обратная матрица у нас уже найдена в предыдущем примере, значит можно находить решение:

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Метод Крамера и матричный метод применяется только для квадратных систем (число уравнений равно числу неизвестных), причем определитель должен быть не равен нулю. Если число уравнений не равно числу неизвестных, или определитель системы равен нулю, применяется метод Гаусса. Метод Гаусса можно применять для решения любых систем.

И подставим в первое уравнение:

Задание 5. Решить систему уравнений методом Гаусса.

По полученной матрице восстанавливаем систему:

Находим решение: